Caratterizzazione delle quadriche con invarianti ortogonali

Rieccomi. Oggi parleremo dello studio "standard" delle quadriche. Prima però voglio mostrarvi una delle applicazioni reali delle quadriche. Questa è la torre di raffreddamento di una centrale nucleare. Come si nota ha la forma di un iperboloide iperbolico. Questa forma ha due vantaggi principali: richiede pochi materiali ed ha un'ottima resistenza.

Torre di raffreddamento

Invarianti ortogonali

Prima di cominciare col nostro procedimento, ricordiamo che l'equazione di una quadrica in forma omogenea è:

e che quest'ultima può essere scritta in forma matriciale in questo modo:

dove X è il vettore colonna delle incognite x,y,z,t e B è la seguente matrice:

che ha i termini in x²,y²,z² e t² (il termine noto se è in forma non omogenea) inseriti così come sono nella diagonale principale. Gli altri coefficenti sono dimezzati.

Gli invarianti ortogonali, dunque, sono:

• Il determinante della matrice B;
• Il rango della matrice B;
• Il determinante della matrice A descritta qui sotto. Essa è la matrice della forma quadratica associata ai termini di secondo grado;

 

• La traccia di A, ovvero la somma della diagonale principale della matrice (a11+a22+a33)

Vengono chiamati invarianti ortogonali perché essi non variano dopo una rototraslazione (e in particolare quella che trasformerà la quadrica in forma canonica di cui parleremo più avanti).

Caratterizzazione mediante l'uso degli invarianti ortogonali.

Questo procedimento userà principalmente i primi tre invarianti descritti precedentemente.

• Se il rango di B è 1, allora la quadrica è spezzata in due piani coincidenti;
• Se il rango di B è 2, allora la quadrica è spezzata in due piani reali e distinti;
• Se il rango di B è 3 avremo due possibilità:
• Il determinante di A è diverso da zero. Avremo un cono.
• Il determinante di A è uguale a zero. La quadrica è un cilindro.
• Se il rango di B è 4 o equivalentemente il determinante di B è diverso da zero allora:
• Se il determinante di A è pari a zero,  allora la quadrica è un paraboloide;
• Se il determinante di A è diverso da zero e gli autovalori di A sono tutti concordi in segno, avremo un ellissoide;
• Se il determinante di A è diverso da zero e gli autovalori di A non hanno tutti lo stesso segno, avremo un iperboloide;

Vediamo come i casi specifici che abbiamo già visto nel post precedente si possono ottenere mediante lo studio degli autovalori (in realtà basterebbe solo il loro segno ed è utilissimo conoscerlo in casi più complessi) e del determinante di B.

Dalla teoria sappiamo che le matrici A e B sono simmetriche e, dunque, dal corollario del Teorema Spettrale, esse sono diagonalizzabili e i loro autovalori sono tutti reali. Perciò ha senso andare a studiare gli autovalori perché sicuramente il polinomio caratteristico di A ha grado 3 e ha 3 soluzioni reali.

Cilindri

Osserviamo che, dallo schema precedente, il determinante di A è uguale a zero, dunque il suo rango sarà 1≤⍴(A)≤2 e avremo sicuramente un autovalore nullo, dato che il determinante di A non cambia perché è un invariante ortogonale.

Ci sono 3 casi possibili:

• A ha 1 autovalore non nullo. Il cilindro sarà parabolico;
• A ha 2 autovalori non nulli e sono concordi in segno. Il cilindro sarà ellittico.
• A ha 2 autovalori non nulli e sono discordi nel segno. Il cilindro sarà iperbolico.

Paraboloidi

Come nel caso precedente, il determinante di A è zero. Questa volta però, notiamo che il rango di A è per forza 2 (sarà più chiaro tra qualche riga).

Ecco i 2 casi:

• I due autovalori di A  hanno lo stesso segno. Il paraboloide è ellittico.
• I due autovalori di A NON hanno lo stesso segno. Il paraboloide è iperbolico.

Ellissoidi

Qui controlleremo il segno del determinante di B (dato che sicuramente non è nullo!).

Le possibilità sono:

• Il determinante di B è positivo. Avremo un ellissoide immaginario.
• Il determinante di B è negativo. La quadrica è un ellissoide reale.

Iperboloidi

Analogamente studiamo il segno del determinante di B.

Allora se succede che:

• Il determinante di B è positivo. In questo caso sarà un iperboloide iperbolico.
• Il determinante di B è negativo. In questo caso sarà un iperboloide ellittico.

Relazione tra i due metodi

Potremmo chiederci qual è la relazione tra i metodi dello studio di una quadrica esposti in questo post e nel precedente. In effetti essi sono legati dalle seguenti equivalenze:

• Q è a punti iperbolici ⇔ det(B)＞0
• Q è a punti parabolici ⇔ det(B)=0
• Q è a punti ellittici ⇔ det(B)<0 0="" b="">＜0
• |A|=|C∞|≠0 ⇔ la C∞ è irriducibile
• |A|=|C∞|=0 ⇔ la C∞ è spezzata

La faccenda sospesa qualche riga sospesa sul paraboloide può essere risolta adesso perché un paraboloide non è una quadrica a punti parabolici e, dunque, non è possibile avere rango di A pari a 1 (accade solo in cilindri parabolici o in quadriche spezzate).

Esempio

Studiare la quadrica Q:xy-y²+z²-xz-z=0

Con gli invarianti

Andiamo a calcolare il determinante di B:

e il determinante di A:

Dal fatto che det(B)≠0 e det(A)=0 ne segue che Q è un paraboloide.
Ma det(B)>0 e quindi Q è un paraboloide iperbolico.

Senza invarianti

Dall'osservazione del post precedente ricaviamo subito che il piano tangente nell'origine (che appartiene a Q dal momento che non c'è il termine noto) è 𝝅:z=0

Studiamo la conica sezione di Q col piano 𝝅 che sappiamo essere spezzata:

Quindi Q è a punti iperbolici perché la sezione della quadrica col piano tangente nell'origine è data da due rette reali e distinte. Omogenizziamo l'equazione e studiamo la C∞:

Da questo deduciamo che la C∞ . è spezzata
Si tratta, dunque, di un paraboloide iperbolico.
Eccone una foto:

Il nostro paraboloide rappresentato con Geogebra

Spero il post vi sia piaciuto. Per chiarimenti o altro non esitate a commentare.
Alla prossima!