Caratterizzazione delle quadriche

Caratterizzazione senza invarianti ortogonali.

 

Salve. Sono Gianluca Caruso e frequento la facoltà di Matematica a Catania.

Durante il corso di quest'anno mi sono chiesto il perché non ci fossero degli esempi su come studiare le quadriche senza gli invarianti ortogonali e, dunque, ho deciso di rimettere in gioco il mio vecchio blog di matematica.

Partiamo subito con il nostro procedimento. Esso sarà diviso in step, così da rendere tutto più semplice possibile.

1. Verifichiamo se la nostra quadrica si può ridurre come il prodotto di due fattori di primo grado.Se succede abbiamo due possibilità:
• Se abbiamo il quadrato di una forma lineare, allora la quadrica è data due piani coincidenti.
• Se si spezza in un prodotto di due fattori di primo grado, allora avremo due piani distinti che in coordinate omogenee, si intersecano sempre in una retta reale se i due piani non sono paralleli, una retta impropria in caso contrario (ricordo che se due piani sono paralleli essi hanno a comune una retta impropria chiamata giacitura.)
2. Prendiamo un punto P(x₀,y₀,z₀)∈Q. 
3. Calcoliamo il piano tangente alla quadrica Q in P. Esso si ottiene facendo il prodotto matriciale




Verrà fuori un'equazione del tipo ax²+by²+cz²+d=0 che, dal punto 1, non dovrà essere un fattore dell'equazione della nostra quadrica, altrimenti si rischierebbe di fare un'analisi sbagliata.
4. Andiamo a mettere a sistema l'equazione della quadrica con il piano trovato precedentemente. Dalla teoria sappiamo che verrà fuori una conica spezzata . Ricaviamo una delle tre incognite (x,y,z) e la sostituiamo nell'equazione della quadrica. Distinguiamo i vari casi:
• Se la nostra risolvente si spezza in due fattori di primo grado distinti, allora si dirà la quadrica Q a  punti iperbolici. Le quadriche a punti iperbolici sono:
• Iperboloidi iperbolici.
• Paraboloidi iperbolici.
• Ellissoidi immaginari.
• Se la risolvente si spezza in un quadrato di un fattore di primo grado, si dirà la quadrica Q a punti parabolici. Le possibili scelte sono:
• Cono.
• Cilindro.
• Se la risolvente si spezza in due fattori immaginari e coniugati (oppure notiamo che, tramite manipolazioni algebriche, la risolvente può essere scritta come somma di quadrati = 0), allora avremo che la quadrica Q è a punti ellittici. Le varie possibilità sono:
• Ellissoidi reali.
• Iperboloidi ellittici.
• Paraboloidi ellittici

Punti iperbolici.


Se la nostra quadrica è a punti iperbolici, effettuiamo i seguenti passi:


1. Se la nostra equazione Q=0 può essere scritta come somma di quadrati pari a 0, allora avremo un Ellissoide Immaginario.
2. In caso contrario, omogenizziamo la quadrica e studiamo la C∞ della quadrica, ovvero la conica sezione tra Q e il piano improprio t=0. Non ha senso chiederci se è un'iperbole, un'ellisse o una parabola, dato che la C∞ è formata solo da punti impropri. Studiamo se è spezzata o meno. Sostituendo t=0 nell'equazione della quadrica, resterà un polinomio posto uguale a zero. Se esso è riducibile, allora Q sarà un Paraboloide Iperbolico. 

   

   Paraboloide iperbolico



Se la C∞ è irriducibile, allora avremo un Iperboloide Iperbolico (o Iperboloide a Una Falda) .





Iperboloide iperbolico





Punti parabolici.


Anche in questo caso dovremo studiare la C∞ della nostra quadrica. 
Se essa è spezzata, avremo i Cilindri. Ne distinguiamo di tre tipi:


• La C∞ è spezzata in due fattori lineari distinti. Avremo un Cilindro Iperbolico.
  
  

  

  Cilindro iperbolico

  
  
• La C∞ è spezzata in un fattore lineare al quadrato. Allora si tratta di un Cilindro Parabolico.

  

  Cilindro parabolico

  
  .
• La C∞ è spezzata in due fattori immaginari e coniugati. Avremo un Cilindro Ellittico.

  

  Cilindro ellittico

Se la conica all'infinito è irriducibile, allora avremo un Cono.

Cono

Punti ellittici

Anche stavolta studieremo l'irriducibilità della C∞. Ci sono due casi: 

• La C∞ è irriducibile. Q sarà un Iperboloide Ellittico (o Iperboloide a Due Falde)
  .
  

  

  Iperboloide ellittico

• La C∞ è riducibile. In questo caso avremo un Paraboloide Ellittico.
  
  

  

  Paraboloide ellittico

Esempi

Svolgiamo questo esercizio:

Classificare, senza l'uso di invarianti ortogonali, la quadrica:

Q:x²+z²-xy-yz+y-z=0

Come prima cosa scegliamo un punto dove calcolare il piano tangente alla quadrica. Notiamo che l'origine O=(0,0,0)∈Q, dato che la quadrica non ha il termine noto.
Osservazione: Se l'origine appartiene alla quadrica, allora il piano tangente all'origine sarà dato dai termini di primo grado qualora essi siano presenti. Se infatti andiamo a calcolare, con l'usuale metodo, il piano tangente all'origine avremo che:

cioè:

Mettiamo a sistema il nostro piano 𝝅:y-z=0 con Q=0 e otteniamo:





Abbiamo ottenuto due rette reali e distinte. Quindi O è un punto iperbolico e lo saranno anche tutti gli altri punti di Q.
Studiamo la C∞ rendendo prima in forma omogenea la nostra equazione della quadrica:



Come si può notare, non siamo in grado di scomporre x²+z²-xy-yz=0 in due fattori di primo grado e ne concludiamo che Q è un iperboloide iperbolico.

La nostra quadrica rappresentata su Geogebra

  Le immagini sono state prese da Wolfram Mathematica®.

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A presto!