Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado

Se nello scorso articolo abbiamo trattato di come si risolvono le equazioni di secondo, oggi ci occuperemo delle disequazioni. 

Vediamo che può succedere se il delta dell'equazione che si ottiene sostituendo l'uguale al maggiore o al minore (anche maggiore o minore uguale) è positivo.

• Se viene imposto di trovare > o maggiore uguale l'insieme delle soluzioni è costituito dai valori esterni alle due soluzioni, ovvero i valori alla sinistra della soluzione minore e a destra della soluzione maggiore, Oltre a ciò, se troviamo il maggiore uguale dobbiamo anche tenere conto dei valori dove l'equazione si annulla, ovvero delle sue soluzioni. Vediamo che significa geometricamente tutto ciò.
  

Come si può notare nel grafico, risolvere una disequazione col segno maggiore non vuol dire altro che trovare tutte quelle ascisse le cui ordinate siano sopra l'asse x. Se il segno è maggiore uguale bisogna aggiungere a questi ultimi anche dove la solita parabola che caratterizza le equazioni di secondo grado, incontri l'asse x, come si può vedere nell'esempio sopra, dov'è rappresentata la parabola x²-x-2 e, nella zona blu, le ascisse collegate alle ordinate sopra o al massimo le intersezioni con l'asse x. Ovviamente dove non è positivo ed esiste è certamente negativo, come si può notare nel riquadro bianco. In generale, quando il delta è positivo e dobbiamo trovare le zone positive esse sono a sinistra della soluzione minore e a destra della maggiore e i valori negativi sono quelli compresi tra le due intersezioni con l'asse x.

• Se il delta è 0, dunque la parabola associata è tangente all'asse x, possiamo dire che:

Se il segno della disequazione è maggiore uguale a 0, la disequazione avrà soluzioni per tutte le x che appartengono all'insieme dei numeri reali. Se fosse, invece, solo maggiore a queste dovremo togliere l'unica intersezione con l'asse x perchè ci viene imposto di trovare i valori maggiori di 0 e non uguali a 0. Se il segno della disequazione, invece, è minore non abbiamo soluzioni ma se compare anche il segno uguale, l'unica soluzione possibile è il valore in cui si annulla perchè, potendo riscrivere l'equazione come un quadrato, è ovvio che esso sia sempre positivo o al massimo uguale a 0.

Come si vede la disequazione x²-2x+1\>0 ha come soluzioni tutti i numeri tranne la zona tratteggiata, ovvero dove la parabola interseca l'asse x

• Se il delta è minore di 0, la parabola seguirà il segno del coefficente a. Se esso è positivo la parabola starà sempre sopra l'asse x e, quindi, ha soluzioni sempre per il segno maggiore e maggiore uguale, mentre non ne avrà se il segno è minore o minore uguale. In caso contrario cambiamo il segno alla disequazione facendo diventare il coefficente a positivo e seguendo le casistiche elencate sopra.

Come si puà notare la parabola  x²-2x+3 sta sempre sopra l'asse x e, dunque, la disequazione  x²-2x+3 ha come soluzioni tutte le x che appartengono all'insieme dei numeri reali

Metto uno schema che vi può aiutare a risolvere una disequazione di secondo grado:

Spero che quest'articolo vi abbia aiutato. Alla prossima!