Equazioni di secondo grado

Ciao! Oggi tratterò delle equazioni di secondo grado, argomento studiato in seconda superiore.
Le equazioni di secondo grado sono uguaglianze del tipo ax²+bx+c=0 dove a,b e c possono essere qualunque numero (ad eccezione della a perchè non si avrebbe un'equazione di secondo grado) Questi sono chiamati coefficenti dell'equazione e svolgono un ruolo importante nella risoluzione. Esse possono essere essenzialmente di tre tipi:

• Spurie, quando sono della forma ax²+bx=0 (c, dunque, è uguale a 0);
• Pure, quando sono della forma ax²+c=0 (b è uguale a 0);
• Complete, quando a, b e c sono diversi da 0;

Risolvere le equazioni di secondo grado spurie

Le equazioni di secondo grado spurie hanno sempre 2 soluzioni reali, di cui sicuramente una è 0.

Per risolvere un'equazione di secondo grado spuria basta seguire questi passaggi:

1. Mettere in evidenza la x ed eventuali multipli comuni dei coefficenti (a e b);
2. Applicare la legge dell'annullamento del prodotto. Questa legge, espressa a paroloni, in realtà è semplice da comprendere. Essa dice che se un prodotto di polinomi ha come risultato 0, allora uno dei fattori dovrà essere 0;
3. Una soluzione è sicuramente 0, l'altra si trova risolvendo l'equazione di primo grado dentro le parentesi tonde;

Esempio:

3x²-9x=0

• 3x(x-3)=0

Ho raccolto 3x perchè sia 3 che 9 sono multipli di 3. Inoltre la presenza del 3 nel successivo passaggio non ne modifica il risultato.

• 3x=0 oppure x-3=0

Ho applicato la legge di annullamento del prodotto

• 3x=0 → x=0/3 →x=0 

Si nota benissimo che il 3 non ha alcuna influenza sul risultato perchè se x=0 è ovvio che se lo moltiplichiamo per 3 farà sempre 0 perchè 3x0=0
0. Questa è la prima soluzione dell'equazione

• x-3=0 → x=3

Questa è la seconda soluzione dell'equazione. Quindi le soluzioni dell'equazione sono: x=0 e x=3

Risolvere le equazioni di secondo grado pure

In questo caso le soluzioni o sono due soluzioni opposte (del tipo x1=-x2), se c è 0 le soluzioni sono 2 coincidenti (ovvero entrambe 0), oppure non esistono se i coefficenti a e c hanno lo stesso segno.

Per risolvere un'equazione di secondo grado pura ecco i passaggi principali:

1. Controllare se il coefficente a e il coefficente c hanno lo stesso segno In questo caso l'equazione non avrà soluzioni nell'insieme dei numeri reali, poichè sappiamo che un quadrato (che è sempre positivo o al massimo uguale a 0), non può essere uguale ad un numero negativo.
2. In caso contrario "spostare" il termine noto a nel termine destro dell'uguaglianza (o più semplicemente spostarlo nel lato dove non c'è la x).
3. Estrarre la radice quadrata ricordandosi il ± perchè un quadrato può essere ottenuto in due modi:

• a²=a*a o anche ricordandoci che a²=(-a)*(-a)

Ecco un esempio:

x²+5=0

• x²=-5 → l'equazione non ha soluzioni perchè un quadrato non può mai essere negativo

Eccone un'altro più sostanzioso

x²-3=0

• x²=3

Ho spostato il termine noto dall'altro lato dell'equazione.

• √x²=±√3 →x=±√3 

Dunque le soluzioni di questa equazioni sono x1=-√3 e x2=√3  

Risolvere equazioni di secondo grado completa

E qui casca l'asino, aggiungerei io. Si tratta di una formula che è utilissima in futuro, quindi vi invito ad imparare a memoria.
La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è x=

dove a,b,c sono i coefficenti dell'equazione di secondo grado e il polinomio dentro la radice quadrata viene chiamato delta dell'equazione(Δ).

Esiste anche la formula ridotta, equivalente a quella sopra,che viene sfruttata quando il coefficente b è pari. Essa è x=

dove a,b,c sono i coefficenti dell'equazione di secondo grado. e il polinomio dentro la radice quadrata viene chiamato delta quarti (Δ/4)
Esistono 3 casi che dipendono essenzialmente dal segno del delta:

1. Delta<0. In questo caso l'equazione non ha soluzioni poichè per esistere la radice quadrata, il suo argomento non deve essere negativo. Geometricamente parlando vuol dire che la parabola y=ax²+bx+c non si incontra (non interseca) l'asse x.
2. Delta=0. In questo caso l'equazione ha 2 soluzioni coincidenti, cioè la parabola originata dall'equazione di secondo grado è tangente all'asse x e dunque lo incontrerà in un solo punto, detto punto di tangenza. A questo punto l'unica soluzione è x=-b/2a, poichè il delta è 0 appunto.
3. Delta>0. In questo caso è possibile applicare la formula risolutiva senza alcun problema, trovando le soluzioni dell'equazione. Parlando di intersezioni con l'asse x, la solita parabola incontrerà l'asse x due volte, e questi avranno come ascissa le soluzioni dell'equazione di secondo grado.

Svolgiamo alcuni esercizi sulle equazioni di secondo grado complete:

1)x²-4x+16=0

Calcoliamoci il delta quarti dato che b è pari: (-4/2)²-16*1=4-16=-12. Questa equazione non avrà soluzioni reali.

Infatti, come si nota dal suo grafico, la parabola di equazione y=x²-4x+16 non interseca l'asse x perchè è sempre al di sopra dello stesso.

2)x²-10x+25=0

Calcoliamoci il delta quarti: (10/2)²-25*1=25-25=0

Il delta è 0, dunque avrà due soluzioni coincidenti che sono:

x1=x2=-b/2a oppure, in questo caso, -(b/2)/a=-(-5)/1=5

Come si può notare, la parabola di equazione y=x²-10x+25=0 interseca l'asse x nel punto A=(5;0)

In effetti potevamo arrivare a questa conclusione considerando che x²-10x+25=(x-5)² e dunque notiamo che questo quadrato di binomio si annulla quando la sua base fa 0 e ciò succede per x=5

3)x²-x-1=0

Calcoliamo il delta:(-1)²-(-1)*1*4=1+4=5>0

Le soluzioni dell'equazione allora saranno

Cioè x1=(1-√5)/2  e x2=(1+√5)/2

Come è possibile vedere la parabola di equazione y=x²-x-1 si interseca con l'asse x nel punti           A~(-0,62;0) e B~(1,62;0) dove -0,62 e 1,62 sono approssimazioni delle soluzioni. 

Una curiosità interessante: i Greci conoscevano benissimo il numero 1,618, soluzione approssimata della nostra equazione e viene chiamata sezione aurea. Questo numero è il simbolo dell'armonia dell'arte greca, ed è grazie a questo numero e all'entasi delle colonne, che queste non apparivano da lontano storte, come è possibile notare nell'unica colonna dorica superstite dei templi di Gela: la colonna Dorica, che si trova oggi nel parco archeologico accanto al Museo Regionale di Gela. Eccone una foto:

Ecco anche dei link interessanti se vi piace conoscere la storia di questa antica città, conosciuta anche per aver fondato la città di Akragas, la moderna città di Agrigento

https://www.siciliainfesta.com/da_visitare/musei/museo_archeologico_regionale_gela.htm

http://wikimapia.org/4495865/it/Colonna-Dorica

Mi auguro di essere stato abbastanza chiaro. Se non avete capito qualcosa non esitate a contattarmi e anche se vi dovesse interessare le bellezze di questa terra. Ciao!