Le derivate - parte 1
Le derivate sono un argomento molto importante studiato durante il quinto anno scolastico. In questi post che pubblicherò vedremo le caratteristiche delle derivate e il loro utilizzo.
-f(x_%7Ba%7D)%5C;&space;%7D%7Bx_%7Bb%7D-x_%7Ba%7D%7D=%5Cfrac%7B&space;incremento%5C,&space;delle%5C,&space;ordinate%7D%7B&space;incremento%5C,&space;delle&space;%5C,&space;ascisse%7D "\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{b})-f(x_{a})\; }{x_{b}-x_{a}}=\frac{ incremento\, delle\, ordinate}{ incremento\, delle \, ascisse}")
Dato che presupponiamo che l'ascissa maggiore sia , è ovvio che l'incremento delle ascisse, ovvero delle x, sia sempre positivo. Dunque il segno del rapporto incrementale dipende dal numeratore della frazione, ovvero dalla differenza delle ascisse tra due punti. Vediamo cosa succede nel caso in cui il rapporto incrementale sia positivo o negativo:
-f(1)%7D%7B2-1%7D%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2%7D-1%7D%7B1%7D%3D3;%5C,&space;3%3E0%5Crightarrow&space;crescente%5C,&space;in%5C,&space;%5Cleft&space;%5B&space;1;2&space;%5Cright&space;%5D "\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{2^{2}-1}{1}=3;\, 3>0\rightarrow crescente\, in\, \left [ 1;2 \right ]")
Il rapporto incrementale può essere ricondotto al coefficente angolare della retta passante nei due estremi dell'intervallo. Esso è il rapporto incrementale stesso e l'angolo formato con l'asse x non è altro che la tangente del rapporto incrementale. Ricordandoci le proprietà della tangente, ovvero di essere positiva tra 0 e 90° e di essere negativa da 90° a 180°, si può capire il comportamento di una funzione in un certo intervallo attraverso l'angolo che forma con l'asse x. Se la tangente di questo angolo è positiva, allora la funzione crescerà. se è negativa la tangente, allora decrescerà.
Cosa succede se prendiamo per intervallo due punti sempre più vicini? Si arriverà a rappresentare la tangente alla curva nel punto desiderato. Essendo un rapporto e il denominatore di un rapporto non può essere mai 0, dovremo utilizzare il limite del rapporto incrementale, usando anche un'altra variabile chiamata h. La derivata di una funzione in un punto si indica generalmente come f'(xo) .
=%5Clim_%7Bh&space;%5Cto&space;0%7D%5Cfrac%7Bf(x_%7B0%7D+h)-f(x_%7B0%7D)%7D%7Bh%7D "f'(x_{0})=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}")
Quindi la derivata di una funzione in un punto, se esiste, è il coefficente angolare della retta tangente alla curva in quel punto. Quindi, dato che la derivata in quel punto rappresenta il coefficente angolare della retta tangente, possiamo dunque dire che l'equazione della retta tangente ad una curva è:
%5Ccdot&space;(x-x_%7B0%7D) "y-y_{0}=f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})")
dove x₀ e y₀ sono le coordinate del punto di tangenza.
Vediamo un esercizio:
Scrivere l'equazione della tangente della curva f(x)=2x³+3x²in x₀=-2
Questo esercizio lo possiamo dividere in 2 step:
1)Calcolo della derivata in x₀
2)Trovare l'equazione della tangente in x₀
Cominciamo col primo step:
=%5Clim_%7Bh&space;%5Cto&space;0%7D%5Cfrac%7Bf(x_%7B0%7D+h)-f(x_%7B0%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh&space;%5Cto&space;0%7D%5Cfrac%7Bf(-2+h)-f(-2)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh&space;%5Cto&space;0%7D%5Cfrac%7Bf(-2)-f(-2)%7D%7B0%7D=%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%5Crightarrow&space;indeterminato "f'(-2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(-2)-f(-2)}{0}=\frac{0}{0}\rightarrow indeterminato")
La definizione di derivata
Le derivate nascono essenzialmente per motivi pratici. Infatti Newton incominciò a lavorare sulle derivate per studiare alcuni fattori fisici, come la velocità istantanea, che può essere definita come la derivata dello spazio rispetto al tempo.
Tutto nasce dal cercare di capire il comportamento di una funzione, ovvero se cresce oppure decresce in un intervallo. Uno strumento che ci permette di capire tutto ciò è il cosiddetto rapporto incrementale, definito come il rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti di una funzione e le rispettive ascisse. In simboli matematici:
Dato che presupponiamo che l'ascissa maggiore sia , è ovvio che l'incremento delle ascisse, ovvero delle x, sia sempre positivo. Dunque il segno del rapporto incrementale dipende dal numeratore della frazione, ovvero dalla differenza delle ascisse tra due punti. Vediamo cosa succede nel caso in cui il rapporto incrementale sia positivo o negativo:
- Se il rapporto incrementale è positivo, si avrà che la funzione è crescente nell'intervallo compreso tra xa e xb.
- Se il rapporto incrementale è negativo, si avrà che la funzione è decrescente nell'intervallo compreso tra xa e xb.
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| Rappresentazione geometrica del rapporto incrementale |
Il rapporto incrementale può essere ricondotto al coefficente angolare della retta passante nei due estremi dell'intervallo. Esso è il rapporto incrementale stesso e l'angolo formato con l'asse x non è altro che la tangente del rapporto incrementale. Ricordandoci le proprietà della tangente, ovvero di essere positiva tra 0 e 90° e di essere negativa da 90° a 180°, si può capire il comportamento di una funzione in un certo intervallo attraverso l'angolo che forma con l'asse x. Se la tangente di questo angolo è positiva, allora la funzione crescerà. se è negativa la tangente, allora decrescerà.
Cosa succede se prendiamo per intervallo due punti sempre più vicini? Si arriverà a rappresentare la tangente alla curva nel punto desiderato. Essendo un rapporto e il denominatore di un rapporto non può essere mai 0, dovremo utilizzare il limite del rapporto incrementale, usando anche un'altra variabile chiamata h. La derivata di una funzione in un punto si indica generalmente come f'(xo) .
Quindi la derivata di una funzione in un punto, se esiste, è il coefficente angolare della retta tangente alla curva in quel punto. Quindi, dato che la derivata in quel punto rappresenta il coefficente angolare della retta tangente, possiamo dunque dire che l'equazione della retta tangente ad una curva è:
dove x₀ e y₀ sono le coordinate del punto di tangenza.
Vediamo un esercizio:
Scrivere l'equazione della tangente della curva f(x)=2x³+3x²in x₀=-2
Questo esercizio lo possiamo dividere in 2 step:
1)Calcolo della derivata in x₀
2)Trovare l'equazione della tangente in x₀
Cominciamo col primo step:
Notiamo che, procedendo "normalmente" troviamo una forma indeterminata 0/0. Non solo è normale che succeda, ma se non accade può essere un valido segnale per convincerci che qualche cosa non va. Proseguiamo con i calcoli:
Nel prossimo post scopriremo delle regole che ci eviteranno il calcolo del limite del rapporto incrementale, che può essere, come abbiamo visto, molto lungo e sbagliare è molto facile. Contattatemi in caso di necessità. Commentate se qualcosa non è chiaro. Alla prossima!
Nel prossimo post scopriremo delle regole che ci eviteranno il calcolo del limite del rapporto incrementale, che può essere, come abbiamo visto, molto lungo e sbagliare è molto facile. Contattatemi in caso di necessità. Commentate se qualcosa non è chiaro. Alla prossima!
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