Le derivate - parte 2

La funzione derivata.

Se vogliamo calcolare la derivata in un generico punto x, avremo la funzione derivata. Quest'ultima è molto importante perchè studiandone il segno avremo il comportamento di tutta la nostra funzione.

In effetti la funzione derivata anche essa è una funzione e la derivata in un punto rappresenta il valore che essa assume in quel punto.

Vediamo un esempio:

Trovare la derivata della funzione f(x) usando il limite del rapporto incrementale:

$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{(x+h)^2-1}{(x+h)^2+1}-\frac{x^2-1}{x^2+1}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x^2+2hx+h^2-1}{x^2+2hx+h^2+1}-\frac{x^2-1}{x^2+1}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x^2+2hx+h^2-1)\cdot (x^2+1)-(x^2+2hx+h^2+1)\cdot (x^2-1)}{h\cdot (x^2+2hx+h^2+1)\cdot (x^2+1)}=\lim_{h \to 0}\frac{x^4+x^2+2hx^3+2hx+h^2x^2+h^2-x^2-1-x^4-2hx^3-h^2x^2-x^2+x^2+2hx+h^2+1}{h\cdot (x^2+1)\cdot (x^2+2hx+h^2+1)}=\lim_{h \to 0}\frac{2h\cdot (2x+h)}{h\cdot (x^2+1)\cdot (x^2+2hx+h^2+1)}=\lim_{h \to 0}\frac{4x+2h}{(x^2+1)(x^2+2hx+h^2+1)}=\frac{4x+2x\cdot 0}{(x^2+1)\cdot (x^2+2x\cdot 0+0^2+1)}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$

Notiamo abbastanza facilmente che la funzione derivata calcolata usando il limite del rapporto incrementale "generale" è spesso molto complicato. Esistono delle derivate elementari che consentono di velocizzare i calcoli e che consiglio di imparare e di capire.

Derivate elementari

Ecco una tabella con le derivate elementari:

Dimostriamo che la derivata di sin(x) è cos(x) usando il limite del rapporto incrementale:

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{2sin(\frac{x+h-x}{2})cos(\frac{x+h+x}{2})}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{sin(\frac{h}{2})cos(\frac{2x+h}{2})}{\frac{h}{2}}=\lim_{h \to 0}\frac{sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\cdot \cos(\frac{2x+h}{2})= \lim_{h \to 0}1\cdot cos(\frac{2x+h}{2})=cos(\frac{2x}{2})=cos(x)$

Nel terzo passaggio ho usato la formula di prostaferesi :

$sin(a)-sin(b)=2sin(\frac{a-b}{2})\cdot cos(\frac{a+b}{2})$

Infine ho riconosciuto un limite notevole che funziona quando l'argomento del seno tende a 0:

$\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$

Vogliamo calcolare la derivata della funzione f(x)=√x usando le derivate elementari:

$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\rightarrow f'(x)=n\cdot x^n=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$
Nel prossimo post scopriremo le operazioni aritmetiche con le derivate. Se non vi è chiaro qualcosa non esitate a contattarmi. Commentate se vi è stato utile. Alla prossima!

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