Studio di una funzione - parte 2

Asintoti e studio degli eventuali punti di discontinuità

Questa fase comporta la risoluzione di alcuni limiti per cercare eventuali asintoti orizzontali, verticali o obliqui   Ricordiamoci che un asintoto è una retta alla quale la funzione si avvicina senza raggiungerla. Una funzione può avere infiniti asintoti verticali come la tangente, i quali asintoti sono le rette x=π/2+kπ, con k appartenente ai numeri interi, come è possibile dedurre dal suo grafico:

La retta arancione (x=π/2) è ottenuta dall'insieme di rette x=π/2+kπ ponendo k=0

In generale ecco le condizioni per l'esistenza degli asintoti:

• Asintoti verticali. Per trovare eventuali asintoti verticali si opera in questo modo:

 

dove per x0 è un ascissa dove la funzione non è continua nel punto in se ma nelle vicinanze, ovvero in un intorno sinistro (per valori che si avvicinano ad x0 e sono minori di quest'ultimo), destro (per valori che si avvicinano ad x0 e sono maggiori di quest'ultimo) o completo. Se siamo in un intorno sinistro, l'eventuale asintoto verrà detto asintoto verticale sinistro, se siamo in un intorno destro, l'eventuale asintoto verrà detto asintoto verticale destro.

• Asintoti orizzontali. Per quanto riguarda la procedura da seguire per gli asintoti orizzontali, si deve svolgere il limite per x che tende a + e a - infinito, qualora questi due "valori" sono inclusi nel dominio. Dunque se il dominio di una funzione è (3;+∞), è inutile svolgere il limite per x che tende a -∞ perchè esso non è incluso nel dominio. A seguire, quindi, la notazione:

In questo caso, come si vede, la retta y=2 è l'asintoto orizzontale sia destro che sinistro della funzione f(x)

• Asintoti obliqui.  Gli asintoti obliqui si esprimono nella forma y=mx+p, dove m è il coefficente angolare della retta e p è il punto di intersezione della retta con l'asse y. Ha senso cercare asintoti obliqui, come per gli asintoti orizzontali  qualora essi fossero presenti nel dominio della funzione di partenza. È importante capire quando conviene calcolarlo, perchè ci potrebbero essere dei conflitti con gli asintoti orizzontali poichè non possono esistere assieme un asintoto orizzontale e uno obliquo destro o sinistro. La presenza di uno, quindi, esclude la presenza dell'altro. Ecco il modo per calcolare eventuali asintoti obliqui:

La retta y=3x+13 è l'asintoto orizzontale sia destro che sinistro della funzione f(x)

Per le funzioni f(x)=P(x)/Q(x), dove P(x) e Q(x) sono dei polinomi con la variabile x abbiamo alcune regole che ci permettono di prevedere il numero di asintoti. Detto  il grado massimo del polinomio P(x) e  il grado massimo del polinomio Q(x), chiamando a il coefficente della x di grado maggiore di P(x) e b il corrispettivo di a in Q(x), allora possono succedere 3 casi:

1. f(x) ha asintoto orizzontale per  ≤ (se < la retta y=0, se = la retta y=a/b);
2. f(x) non ha asintoti orizzontali per >;
3. f(x) ha un asintoto obliquo se  =+1.

Punti di discontinuità

Un punto di discontinuità è un punto in cui la funzione non è definita nel punto ma lo è in suo intorno sinistro, destro o sinistro. I tipi di discontinuità derivano essenzialmente dalle condizioni che deve avere una funzione continua in un punto. 

1. La funzione nel punto è definita.
2. Esiste il limite destro e sinistro per x che tende a x0 della funzione (ovvero faccia un valore finito)
3. I risultati del limite destro e sinistro menzionati sopra devono essere uguali.

In base a questi tre punti derivano i tre tipi di discontinuità:

• Punto di discontinuità di I specie. Il punto di discontinuità di prima specie, anche detto di discontinuità a salto, è un punto in cui esistono finiti i limiti destro e sinistro ma essi sono diversi fra di loro. Il valore assoluto della loro differenza è detto salto di discontinuità (valore assoluto perchè non sappiamo chi sia il maggiore tra l1 e l2)

                    

Ecco un esempio di funzione con discontinuità di I specie.

Esaminiamo il limite destro e sinistro per x che tende a -3 della funzione:

Come si può notare sia del grafico, sia dai limiti, la funzione presenta in x=-3 un punto di discontinuità di I specie con |1-(-1)|=2 come salto di discontinuità.

• Punto di discontinuità di II specie. Il punto di discontinuità di seconda specie, detto anche discontinuità infinita, è un punto dove o il limite destro o il limite sinistro non esiste (dunque non è possibile svolgere il limite in un intorno completo) o almeno uno di questi faccia ±∞. Spesso si tratta semplicemente della presenza o meno di un asintoto verticale, di cui abbiamo discusso sopra, oppure di un punto di cui sappiamo semplicemente che in un intorno destro o sinistro non è definita la funzione.
• Punto di discontinuità di III specie. Esso viene chiamato anche discontinuità eliminabile, perchè si può creare un'altra funzione identica che non abbia questo tipo di "problema". In pratica consiste nel fatto che il limite destro e sinistro della funzione calcolati nel punto di discontinuità presunto siano entrambi uguali ma non coincidano col valore che ha la funzione in quel punto o anche che questa non sia definita in questo punto. In parole povere:

La funzione f(x) ha in x=-1 un punto di discontinuità di III specie. Infatti, per ogni x≠ -1 è praticamente identica alla retta y=2x+2, che rappresenta una funzione continua in ogni x. Possiamo creare, dunque un'altra funzione definendo g(x)=f(x) se x≠ -1 e dando il valore 0 se x=-1

Torniamo alla nostra funzione:

Sappiamo che in 0 la funzione non è definita ma è continua in un suo intorno completo. Dunque 0 è sicuramente un candidato per essere un punto di discontinuità di seconda specie. Vediamo se è vero:


Già questo limite lo afferma che in 0 vi è un punto di discontinuità di seconda specie ma, per correttezza, svolgeremo anche il limite destro:



Passiamo alla ricerca di eventuali asintoti orizzontali, svolgendo il limite che tende prima a + e poi a -della funzione:

che è stato svolto con principio di sostituzione degli infiniti. Esso afferma che in questi casi si può considerare solo la x di grado maggiore col proprio coefficente. Dunque non vi è l'asintoto orizzontale sinistro. Vediamo se c'è l'asintoto orizzontale destro:

Non vi sono, dunque, asintoti orizzontali. Passiamo alla ricerca dell'asintoto obliquo sinistro:

Abbiamo, dunque, scoperto che l'asintoto orizzontale sinistro c'è ma non sappiamo ancora il termine noto di questa retta. Esso è uguale a:

Passiamo all'eventuale asintoto obliquo destro:

Esso, come si nota, è lo stesso dell'asintoto obliquo sinistro. Rappresentiamo, quindi, nel grafico le informazioni che abbiamo ricavato da questa quarta fase:

Nel prossimo articolo studieremo il segno della derivata prima e di ciò che ne consegue.

Spero di essere stato abbastanza chiaro. Alla prossima!