Studio di una funzione - parte 3

Siamo al quinto step per lo studio di una funzione: lo studio della derivata prima. Darò per scontato che sappiate trovare la derivata di una funzione, magari se ne ho tempo, lo spiegherò con tutte le regole, significati geometrici e teoremi associati. La derivata prima calcolata in un punto se esiste, cioè se la funzione derivata è definita in quel punto, ci indica il coefficente angolare della retta tangente alla curva nel punto desiderato. Il segno della derivata prima ci dà la crescenza o la decrescenza della funzione. Dunque, come un numero può essere positivo, negativo o zero, il segno della derivata prima può essere positivo, negativo o zero in ugual modo. Vediamo che succede nei tre casi:

• Derivata prima positiva. La derivata prima è positiva, dunque il coefficente angolare sarà positivo e ciò accade quando l'angolo d'incidenza tra la retta e l'asse x è compreso tra 0 e 90°. Infatti il coefficente angolare è la tangente (tan) dell'angolo d'incidenza e, se la tangente è positiva, quest'angolo è compreso tra 0 e 90°. Essendo la retta tangente una funzione crescente, anche la curva in un intervallo dove la derivata positiva sarà crescente.  
• Derivata prima negativa. Se il segno della derivata prima è negativo in un intervallo, il coefficente angolare della retta tangente in un punto qualsiasi di quest'insieme di valori. Non vuol dire altro che l'angolo di incidenza con l'asse x è compreso tra 90° e 180°, dato che la tangente è negativa in questo intervallo.

Il caso più complicato è stabilire che succede quando la derivata prima si annulla. Parlando geometricamente se la derivata si annulla in un punto, la retta tangente in questo punto sarà parallela all'asse x perchè ha coefficente angolare uguale a 0. Quando vi è la variazione di segno in un intorno del punto di tangenza, si dice che quest'ultimo sia un'estremo relativo. Quando in un intorno di questo punto la derivata non cambia segno, questo è un punto di flesso a tangente orizzontale. Vediamo nel dettaglio i tre casi:

• Massimo relativo. Si ha un massimo relativo quando la derivata nell'intorno sinistro del punto in cui si annulla è positiva ed è negativa in un intorno destro (in parole povere se il segno della derivata è +0-). È molto facile ricordarsi di un massimo. Segnando sotto il segno della derivata nella tabella dei segni una freccia verso l'alto se è positiva e una verso il basso se è negativa, se si avrà un massimo, le due freccie si incontreranno e formeranno una specie di "vetta di una montagna".
• Minimo relativo. Si ha un minimo relativo se la derivata nell'intorno sinistro del punto in cui si annulla è negativa ed è positiva nell'intorno destro (il segno -0+). Anche in questo caso, usando le freccie, è possibile individuare un minimo. Esso, al contrario della "vetta" del massimo, rappresenterà la "valle" della montagna.
• Punto di flesso a tangente orizzontale. Un punto di flesso è la manifestazione del cambio di convessità di una funzione. Immaginiamo un omino che cammina lungo la funzione. Se l'omino cammina verso l'alto a sinistra del punto di flesso, a destra di quest'ultimo si ritroverà a testa in giù proseguendo dritto per la sua strada e non cambiando direzione. Eccone un esempio:
  

Vi sono altri punti di flesso che si differenziano per la posizione della tangente: esistono flessi a tangente verticale e flessi a tangente obliqua, che riprenderemo rispettivamente nel 6° e nel 7° step. In generale un punto di flesso a tangente orizzontale può essere ascendente, quando nell' intorno completo  (ovvero nelle sue vicinanze) la funzione cresce. Se la derivata nel'intorno del punto di flesso è negativa , si dice discendente. Ecco un piccolo grafico per riassumere:

Ritornando alla nostra funzione:

la sua derivata prima è ottenuta dalla regola di derivazione del rapporto ed è dunque:



Svolgiamo la disequazione f'(x)≥0.
Il numeratore è positivo per .
Il denominatore è positivo sempre tranne per 0, dove non è definita l'intera derivata. Ecco la tabella dei segni:

Come si può notare troviamo un massimo relativo nel punto 

e un minimo nel punto

il che è perfettamente in accordo col fatto che la funzione è dispari.

Non vi è il punto di flesso in 0 perchè in 0 la funzione non è definita.

Aggiorniamo il grafico della nostra funzione con le informazioni che ci siamo ricavati:

Nel prossimo articolo confronteremo il dominio della derivata con il dominio della funzione per trovare punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. Spero che sia stato chiaro. Non esitate a contattarmi o a commentare qua sotto se non vi è chiaro qualcosa. Buona giornata!