Studio di una funzione - parte 5

In questo post ci soffermeremo sull'ultimo passaggio dello studio di una funzione: lo studio del segno della derivata seconda.
La derivata seconda ci indica la concavità, cioè il verso della curva, di una funzione. Data una funzione y=f(x) e la sua retta tangente, se il grafico della curva sta sopra quello della retta tangente, si avrà che la funzione ha concavità verso l'alto. Se invece è la retta a stare più in alto della funzione, allora la funzione avrà concavità verso l'alto.

• Segno della derivata seconda positiva. Se il segno della derivata seconda è positiva, significa che si avrà una concavità verso l'alto. Un modo per ricordarsi della concavità è di pensare ad una generica parabola. Se la derivata seconda è positiva, allora il suo grafico "assomiglierà" ad esempio alla parabola y=x². Ecco un esempio:
  

• Segno della derivata seconda negativa. In questo caso la concavità è verso il basso. Il suo grafico, nell'intervallo in cui la derivata seconda è negativa, assomiglierà alla parabola y=-x². Eccone un esempio:

• Segno della derivata seconda nulla. In questo caso avremo a che fare con un punto in cui cambierà concavità della funzione. È un punto di flesso a tangente obliqua. Studiando la derivata seconda spunteranno fuori spesso anche i flessi a tangente orizzontale. Occorre, quindi, escluderli per non doverli "contare" 2 volte. Ecco un esempio di flesso a tangente obliqua:

Come si vede la tangente in D è più alta della funzione e la tangente in A è più bassa. In C si passa dalla concavità verso il basso alla concavità verso l'alto e, la tangente di C, evidenziata in rosso, è una retta obliqua

A questo punto riprendiamo la derivata della nostra funzione d'esempio:

Calcoliamo la derivata seconda, cioè la derivata della derivata:

Studiamo il segno della derivata seconda. 

Il numeratore della frazione è sempre positivo perchè 2 è sempre maggiore di 0, non avendo a che fare con la variabile indipendente (la x).

Il denominatore può essere scritto come x²᛫x. Essendo x² sempre positivo, è ovvio che il segno del prodotto dipenderà unicamente dalla x, che è positiva se è maggiore di 0, e negativa se è minore di 0, ricordandoci che in 0 si annulla il denominatore e, dunque, non possiamo considerarlo.

È importante segnare la concavità come la bocca di uno smile. Se lo smile è triste(😞) si avrà concavità verso il basso. Se invece lo smile sorride (😊) la concavità sarà verso l'alto.

Notiamo che  non abbiamo altri punti di flesso. Aggiorniamo il grafico con le informazioni che abbiamo trovato in questo step:

A questo punto abbiamo tutte le informazioni necessarie per tracciare il grafico della funzione, che sarà il seguente:

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