Studio di una funzione - parte 4
Siamo arrivati al 6° step dello studio di una funzione. In questo passaggio si studia il dominio della derivata per trovare eventuali punti dove la funzione è continua ma non derivabile. Lo studio del dominio della derivata ha le stesse regole dello studio del dominio della funzione perchè la derivata di una funzione è chiamata funzione derivata e quindi anch'essa è una funzione. Se non vi ricordate come si studia il dominio di una funzione, vi rimando al link del primo articolo:
http://gelamath.blogspot.it/2018/04/studio-di-una-funzione.html
Fatto questo, se fossero presenti eventuali punti in cui la funzione è continua ma non derivabile, si opera svolgendo il limite destro e sinistro per x che tende a x₀ della derivata. A questo punto possono succedere diverse cose tra cui:
=l_%7B1%7D,&space;%5C,&space;l_%7B1%7D&space;%5Cin&space;%5Cmathbb%7BR%7D;%5Clim_%7Bx&space;%5Cto&space;x_%7B0%7D%5E+%7D=l_%7B2%7D,%5C,&space;l_%7B2%7D&space;%5Cin&space;%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow&space;l_%7B1%7D%5Cneq&space;l%7B_2%7D "\lim_{x \to x_{0}^- }f'(x)=l_{1}, \, l_{1} \in \mathbb{R};\lim_{x \to x_{0}^+}=l_{2},\, l_{2} \in \mathbb{R}\rightarrow l_{1}\neq l{_2}")
=%5Cpm&space;%5Cinfty&space;;%5Clim_%7Bx&space;%5Cto&space;x_%7B0%7D%5E+%7D=%5Cpm&space;%5Cinfty "\lim_{x \to x_{0}^- }f'(x)=\pm \infty ;\lim_{x \to x_{0}^+}=\pm \infty")
=%5Cpm&space;%5Cinfty&space;;%5Clim_%7Bx&space;%5Cto&space;x_%7B0%7D%5E+%7D=%5Cmp&space;%5Cinfty "\lim_{x \to x_{0}^- }f'(x)=\pm \infty ;\lim_{x \to x_{0}^+}=\mp \infty")
Questo punto verrà detto punto cuspidale. In questo caso, come nel punto angoloso, la funzione non avrà tangente perchè fondamentalmente il punto x₀ rappresenta un punto di discontinuità di seconda specie ma con i limiti sinistro e destro per x che tende a x₀ che verranno infinito di segno opposto. Eccone un esempio:
Nel caso in cui la derivata sinistra o destra non esista non possiamo dire molto sul punto.
Ritornando alla nostra funzione:
=%5Cfrac%7Bx%5E2+1%7D%7Bx%7D "f(x)=\frac{x^2+1}{x}")
che ha derivata:
=%5Cfrac%7Bx%5E2-1%7D%7Bx%5E2%7D "f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}")
studiamo il dominio della derivata. Ricordandoci la restrizione del dominio causata da eventuali denominatori, per cui il dominio della derivata è:
%5Cin&space;%5Cmathbb%7BR%7D%5Csetminus&space;%5Cleft&space;%5C%7B&space;0&space;%5Cright&space;%5C%7D "Dom(f')\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}")
ricordandoci che il dominio della funzione è:
%5Cin&space;%5Cmathbb%7BR%7D%5Csetminus&space;%5Cleft&space;%5C%7B&space;0&space;%5Cright&space;%5C%7D "Dom(f)\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}")
Possiamo dire, confrontando i domini, che sono uguali tra di loro e, dunque, non vi sono punti dove la funzione è continua e non è derivabile. In caso ci fossero basta seguire le regole descritte sopra. Alla fine bisogna aggiornare il grafico se necessario. Nel prossimo articolo studieremo il settimo ed ultimo step dello studio di una funzione. Spero di essere stato abbastanza chiaro. Commentate se non avete capito e non esitate a contattarmi in caso di necessità. Alla prossima!
http://gelamath.blogspot.it/2018/04/studio-di-una-funzione.html
Fatto questo, se fossero presenti eventuali punti in cui la funzione è continua ma non derivabile, si opera svolgendo il limite destro e sinistro per x che tende a x₀ della derivata. A questo punto possono succedere diverse cose tra cui:
- Il limite sinistro per x che tende a x₀ esiste ed è diverso dal limite destro eseguito per lo stesso valore:
In altre parole la derivata ha in x₀ un punto di discontinuità di prima specie, in queste situazioni il punto viene detto punto angoloso:
 |
| La funzione f(x)=|x| può essere interpretata come la parte positiva della seconda bisettrice (y=-x) da -∞ a 0 e come la parte positiva della prima bisettrice (y=x= da 0 a +∞. Dunque la sua derivata è la funzione y=-1 da -∞ a 0 e la funzione y=1 da 0 a +∞. Dunque, come si può notare, la funzione derivata (nel grafico in rosso) è una funzione che ha in 0 un punto di discontinuità di prima specie perchè il limite sinistro della derivata per x che tende a 0 è -1 e il limite destro della derivata per x che tende a 0 è 1. |
- Il limite sinistro per x che tende a x0 e il limite destro fanno infinito dello stesso segno. In simboli:
In questo caso il punto x₀ verrà detto punto di flesso a tangente verticale. Conosciamo già le caratteristiche dei punti di flesso, ovvero sono i punti in cui cambia la convessità della funzione. Quest'ultimo ha come caratteristica la tangente verticale, ovvero una retta parallela all'asse y. Da notare che, se vi chiedono "Se una funzione non ha derivata, allora non ha tangente?" la risposta è falsa perchè il punto di flesso a tangente verticale, pur non avendo derivata, ha la tangente, mentre è certamente vero che se un punto non ha la tangente non ha derivata.
Un esempio di funzioni con punto di flesso a tangente verticale è data dalle funzioni con radici di indice dispari come nell'esempio:
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| La funzione f(x)=∛x presenta nell'origine un punto di flesso a tangente verticale e,come si vede, la sua derivata ha in 0 una discontinuità di seconda specie con i limiti sinistro e destro di f(x) per x che tende a 0 entrambi uguali a +∞. |
A parte. La funzione f(x)=∛x ha qualcosa in comune con la funzione g(x)=x³. Se scriviamo la prima come y=∛x e la seconda come y=x³ oppure come ∛y=x ci accorgiamo che sono la stessa funzione solo con le variabili x e y scambiate. Questo vuol dire che se per f(x)=∛x nell'origine vi è un punto di flesso a tangente verticale, nella funzione g(x)=x³ vi sarà certamente, nello stesso punto, un punto di flesso a tangente orizzontale.
- Il limite sinistro per x che tende a x₀ e il limite destro fanno infinito di segno opposto. In simboli:
Questo punto verrà detto punto cuspidale. In questo caso, come nel punto angoloso, la funzione non avrà tangente perchè fondamentalmente il punto x₀ rappresenta un punto di discontinuità di seconda specie ma con i limiti sinistro e destro per x che tende a x₀ che verranno infinito di segno opposto. Eccone un esempio:
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| La funzione mostrata sopra presenta nell'origine un punto cuspidale perchè il limite destro e sinistro della derivata fanno infinito di segno opposto. |
Ritornando alla nostra funzione:
che ha derivata:
studiamo il dominio della derivata. Ricordandoci la restrizione del dominio causata da eventuali denominatori, per cui il dominio della derivata è:
ricordandoci che il dominio della funzione è:
Possiamo dire, confrontando i domini, che sono uguali tra di loro e, dunque, non vi sono punti dove la funzione è continua e non è derivabile. In caso ci fossero basta seguire le regole descritte sopra. Alla fine bisogna aggiornare il grafico se necessario. Nel prossimo articolo studieremo il settimo ed ultimo step dello studio di una funzione. Spero di essere stato abbastanza chiaro. Commentate se non avete capito e non esitate a contattarmi in caso di necessità. Alla prossima!
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