Studio di una funzione - parte 1

Dato che, ahimè, gli esami di maturità si avvicinano, ho pensato di dare una mano a coloro che li affrontano, come me, quest'anno.
Studiare una funzione vuol dire determinarne le caratteristiche, quali dominio, simmetrie, segno, asintoti, crescenza e concavità e, eventualmente, di rappresentarla graficamente in modo qualitativo, cioè in modo tale da rappresentare le proprietà della funzione stessa.

Per studiare una funzione occorre svolgere sette passaggi:

1. Dominio di una funzione;
2. Determinazione di eventuali simmetrie;
3. Studio del segno e delle intersezioni con gli assi;
4. Studio degli estremi del dominio e determinazione di eventuali asintoti;
5. Studio del segno della derivata prima;
6. Caratteristiche di eventuali punti dove la funzione è continua ma non derivabile;
7. Studio della concavità attraverso il segno della derivata seconda.

In questa prima parte esamineremo le prime 3. Ecco il nostro esempio:

Dominio di una funzione

Trovare il dominio di una funzione non vuol dire altro che trovare l'insieme dei valori per cui la funzione è definita, cioè dove, sostituendo una generica ascissa x, esiste un valore di y, ovvero l'ordinata. Ricordiamo che in una funzione y=f(x), dove f(x) non è altro un espressione che contenga la variabile x, la x viene chiamata variabile indipendente e la y viene chiamata variabile dipendente, in quanto il suo valore dipende dal valore assegnato alla X.

In generale una funzione ha l'insieme dei numeri reali come dominio, ma, in alcuni casi, si dice che una funzione ha restrizioni nel dominio quando sono presenti almeno uno tra questi elementi:

• Determinatori. Se troviamo una funzione fratta, ovvero rappresentata da una frazione in cui al numeratore e al denominatore troviamo la variabile x, dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da 0, poiché una divisione per 0 non e fattibile. Ovviamente non è detto che, se la funzione presenta la variabile x al determinatore, essa abbia restrizioni nel dominio. Per esempio la funzione f(x)=1/(x^2+1), nonostante abbia il denominatore espresso con la variabile x, ha come dominio tutto l'insieme dei numeri reali, perché, se imponiamo il suo denominatore diverso da 0, otterremo x^2 diverso da -1, che è sempre vero perché un quadrato è sempre positivo o al massimo uguale a 0.
• Radici di indice pari. Se troviamo una radice di indice pari dobbiamo imporre che l'argomento della radice sia positivo o al massimo uguale di 0. Non abbiamo questo problema con le radici di indice dispari perchè l'argomento in esse può essere qualsiasi numero, positivo o negativo.
• Argomenti , basi di  logaritmi e esponenziali.  È importante porre l'argomento del logaritmo maggiore di 0. Ciò è dovuto per la stessa definizione di logaritmo:, in cui l'esponenziale è sempre positivo. Nel caso in cui la x fosse nella base del logaritmo (casi abbastanza rari in verità), essa deve essere posta maggiore di 0 e diversa da 1. Non può essere dato questo valore dato che 1 elevato a qualsiasi potenza dà sempre 1 come risultato. Infine in tutti i casi in cui abbiamo x come base di una potenza, essa deve essere posta maggiore di 0 perchè, come spiegato sopra, non si può estrarre una radice di indice pari di un numero negativo.
• Funzioni goniometriche. Per le funzioni goniometriche occorre prestare particolare attenzione. Le funzioni seno e coseno non creano restrizioni nel dominio, il resto si. Per la tangente e la secante bisogna impostare che il suo argomento sia diverso da π/2+kπ, per la cotangente e la cosecante diverso da kπ. Il perchè è presto detto:        

Usando il fatto che queste funzioni sono frazioni, il loro denominatore deve essere posto  diverso da 0, cioè dai valori mostrati sopra. Per quanto riguarda le funzioni inverse del seno e del coseno (asin e acos), esse hanno il dominio compreso tra -1 e 1, inclusi questi ultimi.

Nel nostro caso dobbiamo escludere il valore per cui il denominatore si annulla, quindi 0. Dunque il dominio di questa funzione è:



ovvero esso racchiude tutti i numeri reali tranne lo 0.

Dunque è conveniente farsi un grafico della situazione, iniziando a escludere i valori in cui la funzione non è definita

Eventuali simmetrie

Questo passaggio non è sempre necessario e dipende essenzialmente dal primo. Infatti è inutile svolgere questo passaggio se il dominio della funzione da studiare non è simmetrico. Ad esempio se una funzione è definita per [1;4] e per (7;+infinito) essa non è simmetrico. Se il dominio è simmetrico, allora potrebbero esserci delle simmetrie. In questo caso occorre calcolare f(-x), ovvero sostutuire a x , il suo opposto.

Vi sono 3 casi possibili:

1. f(-x)=f(x) In questo caso la funzione viene detta pari ed è simmetrica all'asse y. 
2. f(-x)=-f(x) In questo caso la funzione viene detta dispari ed è simmetrica all'origine, ovvero all'intersezione tra asse x e y. In pratica al punto O=(0;0)
3. Nessuno dei due casi citati sopra. In questo caso non vi sono simmetrie da segnalare.

Ovviamente ricordarsi dell'eventuale simmetria ci faciliterà i passaggi successivi e ci permetterà di accorgerci se sbagliamo.

Nel nostro caso, la nostra funzione, come si può vedere, è dispari.

Segno della funzione e intersezione con gli assi coordinati

In questo passaggio dovremo calcolare il segno della funzione, ovvero trovare tutti i valori in cui la funzione sta sopra l'asse x (è positiva) o viceversa. In genere basta risolvere la disequazione f(x)>=0 e segnare in un grafico le zone dov'è positiva e, togliendo le eventuali zone escluse dal dominio, dov'è negativa. Svolgendo la disequazione con segno di maggiore uguale ci accorgeremo anche dell'eventuale intersezione con l'asse x, che, normalmente, si sarebbe ottenuta mettendo a sistema y=f(x) e la retta che rappresenta l'asse x, ovvero y=0. Per trovare l'intersezione con l'asse y, qualora esso fosse incluso nel dominio (non ha senso cercare intersezioni con l'asse y se x=0 non fa parte del dominio), basta trovare, se esiste, f(0), ovvero sostutuire alla x il valore 0.

In questo caso, essendo 0 escluso dal dominio, è inutile cercare l'intersezione con l'asse x. 

Non sono presenti neanche intersezioni con l'asse y, cosa che ci potrebbe portare a intuire che l'asse y sia un asintoto. Sarà vero?

Qui si trova la risoluzione della disequazione.

Ecco l'aggiornamento del grafico con le informazioni che abbiamo. Ho eliminato col rosso le parti dove siamo sicuri che la funzione non sia in quella parte di grafico.

Nel prossimo articolo parlerò della quarta fase. Spero di essere stato chiaro. Alla prossima!