Le derivate-parte 3
Bentornati dopo una lunghissima pausa. Oggi ho deciso di continuare un altro po' la serie di articoli sulle derivate. Aggiungerò alcune cose che ho imparato all'università durante questi due anni.
-f(x_0)=0 "\lim_{x \to x_0}f(x)-f(x_0)=0")
&space;\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+g(x_0)&space;\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= "=\lim_{x \to x_0}f(x) \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+g(x_0) \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=")
&space;\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+g(x_0)&space;\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} "=\lim_{x \to x_0}f(x) \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+g(x_0) \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}")
Osserviamo che in un intorno B(x₀,r)\{x₀} del punto considerato la quantità x-x₀ è non nulla. Perciò
-f(x_0)=\lim_{x&space;\to&space;x_0}&space;\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)=f'(x_0)&space;\cdot&space;0&space;=&space;0 "\lim_{x \to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)=f'(x_0) \cdot 0 = 0")
un punto del dominio di f e di g dove le due funzioni sono derivabili.
(x)-(f&space;\cdot&space;g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x&space;\to&space;x_0}\frac{f(x)&space;\cdot&space;g(x)-&space;f(x_0)&space;\cdot&space;g(x_0)}{x-x_0}= "\lim_{x \to x_0}\frac{(f \cdot g)(x)-(f \cdot g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) \cdot g(x)- f(x_0) \cdot g(x_0)}{x-x_0}=")
Aggiungiamo e sottraiamo la quantità f(x)∙g(x₀). Raccogliamo:
[g(x)-g(x_0)]+g(x_0)[f(x)-f(x_0)]}{x-x_0}= "=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)[g(x)-g(x_0)]+g(x_0)[f(x)-f(x_0)]}{x-x_0}=")
Osserviamo che abbiamo ottenuto i due rapporti incrementali moltiplicati per f(x) e per g(x₀). Ma f è derivabile in x₀, quindi sarà anche continua qui. Perciò:
(x)&space;-(f&space;\cdot&space;g)(x_0)&space;}{x-x_0}=f(x_0)&space;\cdot&space;g'(x_0)&space;+&space;f'(x_0)&space;\cdot&space;g(x_0) "\lim_{x \to x_0} \frac{(f \cdot g)(x) -(f \cdot g)(x_0) }{x-x_0}=f(x_0) \cdot g'(x_0) + f'(x_0) \cdot g(x_0)")
Operazioni aritmetiche con le derivate
Dimostriamo come si comportano le derivate con la somma. Abbiamo il seguente:
Teorema sulla derivata della somma
Siano due funzioni f, g:A→ℝ, con A aperto di ℝ . Sia x₀ un punto del dominio di f e di g dove le due funzioni sono derivabili.
Allora la funzione somma (f+g):A→ℝ è derivabile in x0 e si ha:
(f+g)'(x₀) =f'(x₀)+g'(x₀)
DIM
Sappiamo che f e g sono derivabili in x₀ e quindi valgono le seguenti relazioni:
-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0);&space;\lim_{x\rightarrow&space;x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=g'(x_0) "\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0); \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=g'(x_0)")
Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione f+g:
(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x&space;\rightarrow&space;x_0}\frac{f(x)-f(x_0)+g(x)-g(x_0)}{x-x_0}= "\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)+g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=")
-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+g'(x_0) "=\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+g'(x_0)")
Vediamo come si comporta la moltiplicazione. Introduciamo un lemma che ci aiuterà nella dimostrazione.
Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione f+g:
Vediamo come si comporta la moltiplicazione. Introduciamo un lemma che ci aiuterà nella dimostrazione.
Lemma (Derivabilità ⇒ Continuità)
Sia f:A→ℝ, con A aperto di ℝ. Se f è derivabile in x₀ , allora f è continua in questo punto.
DIM
Ricordiamo che, per definizione di continuità in x₀ , si deve avere che:
Osserviamo che in un intorno B(x₀,r)\{x₀} del punto considerato la quantità x-x₀ è non nulla. Perciò
Teorema di derivazione del prodotto
Siano due funzioni f, g:A→ℝ, con A aperto di ℝ . Sia x₀
Allora la funzione prodotto (f∙g):A→ℝ è derivabile in x₀ e si ha:
(f∙g)'(x₀)=f'(x₀)∙g(x₀)+f(x₀)∙g'(x₀).
DIM
Sappiamo che f e g sono derivabili in x₀, e quindi valgono le seguenti relazioni_
-f(x_0)}{x-x_0}=f%27(x_0);&space;\lim_{x\rightarrow&space;x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=g%27(x_0) "\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0); \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=g'(x_0)")
Al solito scriviamo il rapporto incrementale della funzione f∙g:
DIM
Sappiamo che f e g sono derivabili in x₀, e quindi valgono le seguenti relazioni_
Al solito scriviamo il rapporto incrementale della funzione f∙g:
Aggiungiamo e sottraiamo la quantità f(x)∙g(x₀). Raccogliamo:
Osserviamo che abbiamo ottenuto i due rapporti incrementali moltiplicati per f(x) e per g(x₀). Ma f è derivabile in x₀, quindi sarà anche continua qui. Perciò:
Teorema di derivazione della funzione reciproca
Sia f:A→ℝ, A aperto di ℝ.
Sia x₀ un punto dove f(x₀)≠0 in cui f è derivabile. Consideriamo, per il teorema di permanenza del segno dato che f è continua in x₀, per il lemma sopra, un intorno B(x₀,r)⊆ A, dove f(x)≠0 ∀x∊B(x₀,r)
Allora la funzione reciproca (1/f):B(x₀,r) →ℝ è derivabile in x₀, e si ha:
'(x_0)=-&space;\frac{f'(x_0)}{[f(x)]^2} "(1/f)'(x_0)=- \frac{f'(x_0)}{[f(x)]^2}")
DIM
Scriviamo il rapporto incrementale della funzione reciproca:
(x)-(\frac{1}{f})(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x&space;\to&space;x_0&space;}&space;\frac{\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(x_0)}}{x-x_0}=\lim_{x&space;\to&space;x_0}&space;\frac{f(x_0)-f(x)}{(x-x_0)f(x)&space;\cdot&space;f(x_0)}= "\lim_{x \to x_0 } \frac{(\frac{1}{f})(x)-(\frac{1}{f})(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0 } \frac{\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(x_0)}}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)-f(x)}{(x-x_0)f(x) \cdot f(x_0)}=")
-f(x_0)}{x-x_0}&space;\cdot&space;\frac{1}{f(x)&space;\cdot&space;f(x_0)}&space;=&space;-\frac{f'(x_0)}{[f(x_0)]^2} "=\lim_{x \to x_0} -\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot \frac{1}{f(x) \cdot f(x_0)} = -\frac{f'(x_0)}{[f(x_0)]^2}")
dato che abbiamo ottenuto il limite dell'opposto del rapporto incrementale che tende a -f'(x₀,) e, visto che f è derivabile in x₀, quindi continua, f(x) tende per x→x₀,f(x₀,). . Allora, applicando il teorema del limite della funzione reciproca nell'intorno B(x₀,r), 1/f(x) tende ad 1/f(x₀,).
Adesso possiamo dimostrare:
'(x_0)=\frac{f'(x_0)&space;\cdot&space;g(x_0)-&space;f(x_0)&space;\cdot&space;g'(x_0)}{[g(x_0)]^2} "\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0) \cdot g(x_0)- f(x_0) \cdot g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}")
'(x_0)=\left(f&space;\cdot&space;\frac{1}{g}\right)'(x_0)=f'(x_0)&space;\cdot&space;\frac{1}{g(x_0)}+&space;f(x_0)&space;\cdot&space;\left(&space;\frac{1}{g}&space;\right)'(x_0)= "\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)=\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)'(x_0)=f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)}+ f(x_0) \cdot \left( \frac{1}{g} \right)'(x_0)=")
Riscriviamo e facciamo il minimo comune denominatore:
&space;\cdot&space;\frac{1}{g(x_0)}+f(x_0)&space;\cdot&space;\left[\frac{-g'(x_0)}{g(x_0)^2}\right]=\frac{f'(x_0)&space;\cdot&space;g(x_0)-f(x_0)&space;\cdot&space;g'(x_0)}{g(x_0)^2} "=f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)}+f(x_0) \cdot \left[\frac{-g'(x_0)}{g(x_0)^2}\right]=\frac{f'(x_0) \cdot g(x_0)-f(x_0) \cdot g'(x_0)}{g(x_0)^2}")
Spero che questo articolo vi sia piaciuto. Se c'è qualche problema, lasciate qualche commento.
Buona giornata.
Scriviamo il rapporto incrementale della funzione reciproca:
dato che abbiamo ottenuto il limite dell'opposto del rapporto incrementale che tende a -f'(x₀,) e, visto che f è derivabile in x₀, quindi continua, f(x) tende per x→x₀,f(x₀,). . Allora, applicando il teorema del limite della funzione reciproca nell'intorno B(x₀,r), 1/f(x) tende ad 1/f(x₀,).
Adesso possiamo dimostrare:
Teorema di derivazione del quoziente
Siano f,g:A→ℝ con A aperto di ℝ. Sia x₀ un punto dove sia f che g sono derivabili e, come nel teorema di sopra, che esista un intorno B(x₀,r)⊆ A,dove g(x)≠0 ∀x∊B(x₀,r).
Allora la funzione quoziente (f/g):B(x₀,r)→ℝ è derivabile in x₀,e si ha:
DIM
Utilizziamo il teorema della derivazione del quoziente e quello del prodotto:
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Buona giornata.
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