Corso zero - 1 Equazioni e disequazioni con i valori assoluti

Salve a tutti. Sono Gianluca Caruso e frequento la facoltà di Matematica a Catania. 

Voglio cominciare questa serie di post per aiutare le nuove matricole sulle conoscenze necessarie da avere per cominciare, senza troppe difficoltà, questo corso di laurea.

Oggi parliamo delle disequazioni con i valori assoluti.

Prima di tutto introduciamo la funzione |x|.

La funzione |x|, nel caso più generale possibile, è definita come una funzione dai reali ai reali non negativi tale che: 

Proprietà

Per tutti gli x e i y reali abbiamo che:

• |x+y| ≤ |x| + |y| (Prima disuguaglianza triangolare)
• ||x|-|y|| ≤ |x| (Seconda disuguaglianza triangolare)
• |x·y|=|x|·|y|

Osserviamo che le prime due sono le stesse disuguaglianze che devono verificare i lati di un qualsiasi triangolo!

Equazioni coi valori assoluti

Risolviamo passo dopo passo un'equazione coi valori assoluti in modo da presentare il modo generale di procedere.

Supponiamo di voler risolvere l'equazione:

|x²-5x+6|=|x-3|

1. Cerchiamo eventuali condizioni da imporre nel campo d'esistenza (eventuali denominatori, logaritmi, funzioni trigonometriche inverse, radici di indice pari etc.). Nel nostro caso non abbiamo alcun problema tra quelli sopra elencati.
2. Studiamo il segno dei termini dentro il valore assoluto. Nel nostro caso dovremmo studiare le disequazioni x²-5x+6 ≥ 0 e x-3 ≥ 0. La prima ha soluzione x≤2 oppure x≥3 e la seconda x≥3.
3. Rappresentiamo in un diagramma i risultati ottenuti al passo 2:
   
   
   
4. Studiamo i vari casi ottenuti ricordandoci che se abbiamo registrato un +, il valore assoluto "scompare", se abbiamo messo -, dobbiamo togliere il valore assoluto cambiando il segno all'espressione.

Caso x<2:

L'equazione diventa:

x²-5x+6=3-x

Portando tutto al primo membro avremo:

                                                                          x²-4x+3=0

Calcoliamo il Δ/4=4-3=1

L'equazione ha due soluzioni. Esse sono:

Osserviamo che 2 non può essere soluzione. Infatti, sostituendo nell'equazione originale, si avrà 0 = 1.

La seconda soluzione non può essere accettata in quanto non si trova nel range esaminato (3 non è minore di 2).

Caso 2<x≤3

Avremo qui:

- x²+5x-6=3-x

Portando tutto al secondo membro avremo:

x²-6x+9=0

Quest'ultimo è il quadrato di x-3. Quindi ne ricaviamo che la soluzione in questo caso è unica ed è x=3. Stavolta è accettabile per il minore o uguale.

Caso x>3

L'equazione diventa:

x²-5x+6=x-3

Portando tutto al primo membro avremo:

x²-6x+9=0

Sappiamo già qual è la soluzione di quest'equazione. Essa è x=3 ma non possiamo accettarla in quanto 3 non è maggiore di sè stesso.

Ricapitolando le soluzioni che otteniamo sono x=2 e x=3

Metodo alternativo

Quando le equazioni sono particolarmente facili o le espressioni con valore assoluto hanno una (o più) soluzioni in comune, si può optare per un metodo differente. Applichiamolo col precedente esempio.

|x²-5x+6|=|x-3|

Abbiamo già osservato, quando abbiamo calcolato il segno delle due espressioni, che esse hanno la radice in comune x=3. Possiamo dunque scrivere che:

|x-2|·|x-3|=|x-3|

Perciò possiamo operare in questo modo particolarmente utile con le disequazioni:

Caso x≠3

Se supponiamo che x sia diverso da 3, allora possiamo dividere per |x-3|. 

Avremo |x-2|=1 che ha soluzione x=2 e x=3 (non accettabile quest'ultima).

Caso x=3

Sostituendo, otteniamo 0=0. Quindi 3 è soluzione.

Disequazioni con i valori assoluti

Prima di tutto osserviamo due fatti:

• Le disequazioni del tipo |x| ≤y, con y>0, hanno soluzione -y≤ x ≤y.
• Le disequazioni del tipo |x| ≥ y, con y >0, hanno soluzione x≤-y oppure x ≥y (oppure vel).

Il procedimento per risolvere una disequazione coi valori assoluti è molto simile a quello per risolvere le equazioni. Bisogna studiare il campo d'esistenza delle soluzioni, poi studiare il segno delle espressioni dentro i valori assoluti e risolvere i vari casi, dove, ovviamente, ci saranno delle disequazioni da risolvere.

Vediamo un esempio:

|x²-2x+8|≤|2x-3x²|

Passo 1. Studiamo il campo d'esistenza delle soluzioni. Osserviamo che, essendo polinomi, non danno limitazioni di cui tenere conto.

Passo 2. Studiamo il segno delle quantità in valore assoluto.

Osserviamo che, calcolando il Δ/4 della prima espressione, risulta essere negativo (è -7). Perciò l'espressione conserverà il segno del coefficiente di secondo grado. Essendo 1 positivo, ne deduciamo che l'espressione |x²-2x+8|=x²-2x+8 per tutte le x reali.

Passiamo alla seconda. Si tratta di studiare 2x-3x²≥0. L'equazione, essendo spuria, ha soluzioni x=0 e x=2/3. La disequazione ha soluzioni 0≤x≤2/3.

Passo 3. Rappresentiamo in un diagramma quello che abbiamo ottenuto (ometto il segno della prima espressione perché è sempre lo stesso.)

Passo 4. Studiamo i vari casi ottenuti nel diagramma.

Caso x≤0

La disequazione risulta essere: x²-2x+8≤3x²-2x.

Portando tutto al secondo membro e semplificando il -2x otteniamo:

2x²-8≥0

Dividendo per 2 e portando il termine noto al secondo membro, otterremo x²≥4, che ha soluzione

x≤-2 e x≥2. Rappresentiamo in un diagramma  x≤0 e x≤-2 o x≥2 e ne prendiamo la parte comune.

Abbiamo ottenuto x≤2.

Caso 0<x≤2/3

In questo caso avremo:

                                                                       x²-2x+8≤2x-3x²

Portiamo tutto al primo membro e otteniamo:

4x²-4x+8≤0

Dividiamo per 4:

x²-x+2≤0

Il Δ è -8. Perciò, come prima, l'espressione assume sempre il segno del termine di secondo grado e, dunque, risulta essere sempre positiva. Siccome stiamo cercando i valori per i quali essa è minore o uguale a 0, ne deduciamo che non abbiamo soluzioni in questo caso.

Caso x>2/3

Avremo da studiare ancora  x²-2x+8≤3x²-2x

Sappiamo già le soluzioni della disequazione sopra elencata. Quindi non ci rimane altro che vedere le parti in comune tra x>2/3 e x≤-2 o x≥2.

Ricaviamo in questo caso che x≥2. 

Uniamo le soluzioni ottenute nei casi precedenti. Otteniamo, dunque, x≤-2 o x≥2 come soluzione della nostra disequazione.

Casi particolari

Studiamo un caso particolare: x²-|x|-6>0.

Potremmo usare il metodo sopra descritto, distinguendo i casi x≤0 e x>0. 

Qui, però, è conveniente fare la seguente osservazione: per ogni x reale abbiamo che |x|²=x². Infatti, sia che |x| sia x o -x, il loro quadrato fa sempre x².

Cambiamo variabile alla nostra disequazione. Chiamiamo t=|x|. La disequazione diventerà:

                                                                                   t²-t-6>0

Adesso è una semplice disequazione di secondo grado che ha soluzioni t<-2 o t>3. Sostituiamo al posto di t |x|.

Otteniamo |x|<-2 che non ha soluzioni (il valore assoluto è sempre positivo!) e |x|>3 che ha soluzioni x<-3 o x>3 (puoi ricavarlo o da quello. Dunque la nostra soluzione è x<-3 o x>3.

Con oggi abbiamo finito. Se avete qualche dubbio, scrivete nei commenti. Alla prossima!